| Vektor kalkulus | |
|
Vi skal studere hvordan vi kan beregne areal av krumme flater i rommet. La S være en krum flate i rommet beskrevet ved nivåflaten f(x,y,z) = c. La R være planprojeksjonen av S (her ned i xy-planet). La p være enhetsnormalvektoren (her lik k) på planområdet R. Arealet av flaten S som pr definisjon er lik dobbeltintegralet av dS over S er lik dobbeltintegralet over planprojeksjonen R av lengden av gradienten til f delt på absoluttverdien av skalarproduktet av gradienten til f og enhetsnornalvektoren p. Merk at når vi istedet for integrasjon over flaten S integrerer over planprosjektsjonen R så må vi inn med en korreksjonsfaktor, og denne korreksjonsfaktoren er lik lengden av gradienten til f delt på absoluttverdien av skalarproduktet av gradienten til f og enhetsnornalvektoren p. Merk også at gradienten til f er en vektor som i hvert punkt på flaten S står normalt på denne flaten. |
