| Vektor kalkulus | |
|
Vi har et parallellogram PQRS i rommet utspent av de to vektoren u og v (se fig.). La firkanten P'Q'R'S' være planprojeksjonen (f.eks. projeksjonen ned i xy-planet) av dette parallellogrammet. La p være enhetsnomalvektoren på denne planprojeksjonen. Arealet A av denne planprojeksjonen er gitt ved: A = |(u x v)·p| Bevis: Figuren viser hvordan vi kan skrive u og v som lineærkombinasjoner av u' og p, samt v' og p henholdvis. Ved å benytte disse uttrykkene ved kryssmultipliasjon av de to vektoren u og v, ser vi at vi får fire ledd hvor alle unntatt første ledd (u' x v') står normalt på p. Herav får vi: (u x v)·p = (u' x v')·p p står normalt på både u' og v'. Derfor vil |(u' x v')·p| være lik arealet A. Herav følger: A = |(u x v)·p| |
