| Vektor kalkulus | |
|
På forrige side utledet vi en formel for arealet Aav planprojeksjonen av et parallellogram i rommet: A = |(u x v)·p| hvor u og v utspenner parallellogrammet og hvor p er enhetsnormalvektoren på planprojeksjonen. La nå S være en vilkårlig flate i rommet beskrevet ved nivåflaten f. Denne flaten deler vi opp i infinitesimale parallellogram og benytter formelen ovenfor på hvert av disse parallellogrammene. Siden gradienten til f står normalt på flaten S og p står normalt på projeksjonene av hver av de nevnte parallellogramdelene, får vi arealet av hver parallellogramdel kan skrives som arealet av tilhørende projeksjonsdel multiplisert med korreksjonsfaktoren lengden av gradienten til f delt på absoluttverdien av skalarproduktet av gradienten til f og p. Arealet av flaten S får vi nå ved å summere (dvs integrerer) over hele planprojeksjonen. Herav: Arealet av flaten S som pr definisjon er lik dobbeltintegralet av dS over S er lik dobbeltintegralet over planprojeksjonen R av lengden av gradienten til f delt på absoluttverdien av skalarproduktet av gradienten til f og enhetsnornalvektoren p. Areal = ʃʃdS = ʃʃ|∇f|/|∇f·p|dA |
