| Vektor kalkulus | |
|
Finn arealet av paraboloideflaten S gitt ved: x2 + y2 - z = 0 når paraboloiden kuttes av planet z = 4. Øverst til høyre i figuren vises formelen for arealet av en flate S i rommet, først som et dobbeltintegral av dS over S, deretter som integralet over planprojeksjonen R istedet med tilhørende korreksjonsfaktor som er lik lengden av gradienten til f (|∇f|) delt med |∇f·p| som er absoluttverdien av skalarproduktet av gradienten til f og enhetsnormalvektoren p på planprojeksjonen. f er her en skalarfunksjon som er slik at flaten S er en nivåflate til f, dvs f(x,y,z) = c hvor c er en konstant. Vi lager (på bakgrunn av ligningen til paraboloiden) skalarfunksjonen f gitt ved: f(x,y,z) = x2 + y2 - z Da er flaten S gitt ved nivåflaten f(x,y,z) = 0. Vi bestemmer gradienten til f: ∇f = [∂f/∂x,∂f/∂x,∂f/∂x] = [2x,2y,-1] Videre bestemmer vi (vha Pythagoras) lengden til gradienten til f: |∇f| = |[2x,2y,-1]| = ((2x)2+(2y)2+(-1)2)1/2 = (4x2+4y2+1)1/2 Skalarproduktet av gradienten til f og enhetsnormalvektoren p er gitt ved: ∇f·p = [2x,2y,-1]·p = -1 Absoluttverdien av skalarproduktet av gradienten til f og enhetsnormalvektoren p er gitt ved: |∇f·p| = |-1| = 1 Vi har nå tilgjengelig alle delene i korreksjonsfaktoren i dobbeltintegralet over planprojeksjonen R og beregner (ved å gå over til polarkoordinater) arealet A av paraboloideflaten til svaret vist i figuren. |
