| Vektor kalkulus | |
|
Øverst til høyre i figuren vises formelen for arealet av en fla
te S i rommet, først som et dobbeltintegral av dS
over S, deretter som integralet over planprojeksjonen R istedet med tilhørende korreksjonsfaktor som er lik
lengden av gradienten til f (|∇f|) delt med |∇f·p| som er absoluttverdien av skalarproduktet av gradienten til f
og enhetsnormalvektoren p på planprojeksjonen. f er her en skalarfunksjon som er slik at flaten S er en nivåflate til f, dvs f(x,y,z) = c hvor c er en konstant. På denne siden viser vi tre alternative former for denne korreksjonsfaktoren. Flate z = f(x,y): La oss anta flaten S i rommet kan skrives på formen z = f(x,y). På bakgrunn av dette uttrykket lager vi følgende skalarfunksjon: F(x,y,z) = z - f(x,y). S er da gitt ved nivåflaten F(x,y,z) = 0. F kan da erstatte f i formelen øverst til høyre i figuren. Vi bestemmer gradienten til F: ∇F = [∂F/∂x,∂F/∂x,∂F/∂x] = [-∂f/∂x,-∂f/∂y,1] = [-fx,-fy,1] Videre bestemmer vi (vha Pythagoras) lengden til gradienten til F: |∇F| = (fx2+fy2,1])1/2 Skalarproduktet av gradienten til F og enhetsnormalvektoren p er gitt ved: ∇F·p = [-fx,-fy,1]·[0,0,1] = 1 Absoluttverdien av skalarproduktet av gradienten til f og enhetsnormalvektoren p er gitt ved: |∇F·p| = |1| = 1 Korreksjonsfaktor: (1+fx2+fy2)1/2 |
