| Vektor kalkulus | |
|
Finn fluksen av vektorfeltet F = [0,yz,z2]
ut av flaten S avkuttet av sylinderen y2 + z2 = 1
og planene x = 0 og x = 1. Øverst til høyre i figuren vises formelen for flateintegralet som skal beregnes, først som et dobbeltintegral av F·ndS over S, deretter som integralet over tilhørende planprojeksjonen R istedet med tilhørende korreksjonsfaktor som er lik lengden av gradienten til f (|∇f|) delt med |∇f·p| som er absoluttverdien av skalarproduktet av gradienten til f og enhetsnormalvektoren p på planprojeksjonen. f er her en skalarfunksjon som er slik at flaten S er en nivåflate til f, dvs f(x,y,z) = c hvor c er en konstant. Vi lager (på bakgrunn av ligningen til paraboloiden) skalarfunksjonen f gitt ved: f(x,y,z) = x2 + y2 Da er flaten S gitt ved nivåflaten f(x,y,z) = 1. Vi bestemmer gradienten til f: ∇f = [∂f/∂x,∂f/∂x,∂f/∂x] = [0,2y,2z] Videre bestemmer vi (vha Pythagoras) lengden til gradienten til f: |∇f| = |[0,2y,2z]| = (02+2y)2+(2z)2)1/2 = (4y2+4z2)1/2 = 2(y2+z2)1/2 = 2 Siden gradienten til f står normalt på flaten S, vil enhetsnormalvektoren n på flaten S være lik gradienten til f delt på lengden av gradienten til f: n = ∇f/|∇f| = [0,2y,2z]/2 = [0,y,z] Skalarproduktet av F og enhetsnormalvektoren n vil nå være gitt ved: F·n = [0,yz,z2]·[0,y,z] = z Skalarproduktet av gradienten til f og enhetsnormalvektoren p er gitt ved: ∇f·p = [0,2y,2z]·[0,0,1] = 2z Absoluttverdien av skalarproduktet av gradienten til f og enhetsnormalvektoren p er gitt ved: |∇f·p| = |2z| = 2z (den siste likheten gjelder siden z er ikke-negativ). Vi har nå tilgjengelig alle delene av integranden i dobbeltintegralet over planprojeksjonen R og beregner fluksen Φ til verdien 2. |
