| Vektor kalkulus | |
|
Øverst til høyre i figuren vises vår tidligere formelen for arealet av en flate S i rommet, først som et dobbeltintegral av dS
over S, deretter som integralet over planprojeksjonen R istedet med tilhørende korreksjonsfaktor som er lik
lengden av gradienten til f (|∇f|) delt med |∇f·p| som er absoluttverdien av skalarproduktet av gradienten til f
og enhetsnormalvektoren p på planprojeksjonen. f er her en skalarfunksjon som er slik at flaten S er en nivåflate til f, dvs f(x,y,z) = c hvor c er en konstant. I tillegg til denne formelen er (også nå øverst til høyre) gitt formelen for arealet til flaten S uttrykt ved parameteriseringen til flaten, nemlig arealet skrevet som dobbeltintegralet over parameterområdet D av lengden av kryssproduktet mellom de partiellderiverte (ru og rv) av r mht u og v henholdsvis. På figuren er vist en bevis-skisse for denne sistnevnte formelen under antakelsen og at parameterområdet D er et rektangulært område. Lengst til venstre i figuren er vist dette rekangulære parameterområdet D. Nedre venstre hjørne i dette området har koordinater (u,v). Lengdene av rekangelsidene er henholdsvis Δu og Δv. I midten og til høyre i figuren er vist tilhørende parameteriserte flate (parallellogram) ΔS. Sidene i dette parallellogrammet vil tilnærmet være lik ruΔu og rvΔv henholdsvis. Siden arealet av et parallellogram er lengden av kryssproduktet av de to vektorene som utspenner parallellogrammet, så vil arealet av parallellogrammet ΔS være gitt ved: |rudu x rvdv| = |ru x rv|dudv. Arealet av flaten S vil nå være en sum (dvs dobbelintegral) av dette uttrykket over hele flaten S: Areal = ʃʃ|ru x rv|dudv Nå har vi altså to uttrykk for arealet av en flate S i rommet: Areal = ʃʃdS = ʃʃ|∇f|/|∇f·p|dA = ʃʃ|ru x rv|dudv Den første formelen kan benyttes hvis flaten S kan skrives som nivåflaten til en skalarfunksjon f, dvs S er beskrevet ved f(x,y,z) = c, den andre formelen kan vi benytte når vi har en parameterisering av flaten. |
