| Vektor kalkulus | |
|
Vi skal vha nivåflate bestemme arealet av kjegleflaten S gitt ved: z = (x2 + y2)1/2 når z ϵ [0,1] Vi har følgende formel for areal: ʃʃdS = ʃʃ|∇f|/|∇f·p|dA f er her en skalarfunksjon hvor kjegleflaten S er en nivåflate til f. p er enhetsnormalvektoren på projeksjonen av flaten S, her ned i xy-planet, dvs p = [0,0,1]. Vi kan bestemme en skalarfunksjon f slik at flaten S blir en nivåflate til f ved å sette: f(x,y,z) = z - (x2 + y2)1/2. Flaten S vil nå være beskrevet ved f(x,y,z) = 0, dvs ved f(x,y,z) lik en konstant (her 0), altså er S en nivåflate til f. I uttrykket for arealet trenger vi nå gradienten til f, dvs ∇f, lengden av denne gradienten, skalarproduktet av denne gradienten med p og absoluttverdien av dette skalarproduktet. Figuren viser beregning av alle disse uttrykkene og deretter beregning av arealet A. |
