| Vektor kalkulus | |
|
På denne siden vises Gauss' teorem og Stokes' teorem som er de to 3D-versjonene av Greens teorem i planet (2D), svarende til henholdsvis normalformen og den tangentielle formen
og som kommer til stor nytte når vi skal gjøre fluks- og sirkulasjons-beregninger i rommet (3D). Gauss' teorem (divergens): La S være en enkel lukket flate i rommet (R3). La D være det området i rommet (R3) som omsluttes av flaten S. La F = [F1,F2,F3] være et vektorfelt med kontinuerlige partiellderiverte komponenter i området D. Gauss' teorem sier at fluksen av vektorfeltet ut av den lukkede flaten S er lik trippel-integralet over området D som den lukkede flaten S omslutter av divergensen til F. Stokes teorem (tangentiellform): La D være et område i rommet (R3). La C være en stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med valgt positiv omløpsretning i D. La S være en enkel flate i området D i rommet (R3) og som har kurven C som rand. Den positive siden av flaten S er bestemt på følgende måte: Når vi litt inn på flaten S beveger oss i positiv omløpsretning langs kurven C og har kurven C på vår høyre side, så vil vi ha flatens positive side på vår venstre side. La n-vektor være enhetsnormalvektor ut av den positive siden av flaten S (denne enhetsnormalvektoren vil kunne variere over flaten S). La F = [F1,F2,F3] være et vektorfelt med kontinuerlige partiellderiverte komponenter i området D i R3. Stokes teorem sier at sirkulasjonen av vektorfeltet langs den lukkede kurven C er lik dobbelt-integralet over S av n-komponenten av curl F. |
