Vektor kalkulus UiA Logo
[Hovedmeny][Forrige][Neste] [Streaming] [Powerpointslides] [Video/Sim]
På denne siden vises en bevis-skisse av Gauss teorem.
Bevis-skisse betyr at beviset ikke er komplett, men antyder ideene omkring et bevis.

Øverst til høyre er tegnet et lukket legeme (element) S i 3D (for enkelhetsskyld tenker vi oss dette legemet har boksform).
På et vilkårlig sted inne i legemet S er tegnet et infinitesimalt (boksformet) legeme med sidekanter Δx, Δy og Δz.
Vi tenker oss nå at legemet S er sammensatt av slike infinitesimale legemer.

Nede til høyre er et slikt infinitesimalt legeme tegnet omgitt av 4 av sine totalt 6 mulige nærmeste naboer.
Nederst til høyre er dette infinitesimale legeme tegnet med to av sine sideflater (topp og bunn) spesifisert som S1 og S2.
I beregningene øverst til venstre har vi beregnet netto fluks ut av toppflaten og bunnflaten i det nevnte infinitesimale legemet.
Enhetsnormalvektor ut av toppflaten og bunnflaten er k og -k henholdsvis.
Videre har vi: F·k = F3.
F3 på toppflaten er F3(x,y,z+Δz), mens F3 på bunnflaten er F3(x,y,z).
Differensen mellom disse er integralet av ∂F3/∂z mht z med grenser z + Δz og z.
Dermed går vårt flateintegral over til et volumintegral og netto fluksen ut av topp- og bunn-flaten i vårt infinitesimale element er lik trippelintegralet over det infinitesimale elementet av ∂F3/∂z.

Vi kan nå utvide fluksen til å gjelde nettofluks ut hele vårt infinitesimale element (ikke kun topp- og bunn-flate, men også alle sideflatene) og vi får i vårt trippelintegral tilsvarende med leddene ∂F1/∂x og ∂F2/∂y.

Vi kan nå summere alle slike bidrag over hele legemet S.
På venstre side får vi nå netto fluks ut av overflaten til S i det alle indre bidrag kansellerer hverandre (to og to sammenfallende flater har motsatt like stor fluks (fluks inn i den ene flaten er motsatt lik fluksen inn i den andre flaten (motsatt normalvektor))). Videre har vi at summen ∂F1/∂x + ∂F2/∂y + ∂F3/∂z er lik divergensen til F eller lik ∇·F.
Dermed får vi Gauss teorem som sier at netto fluks ut av et lukket element er trippelintegralet av ∇·F over det indre av det lukkede elementet.