| Vektor kalkulus | |
|
I andre del av beviset skal vi beregne høyresiden i Stokes teorem, dvs integralet av (∇ x F)·n
over en flate som har C som rand. Det finnes flere slike flater. På denne siden skal vi først velge halvkulen over xy-planet med sentrum i origo og radius lik 3. Denne flaten har C som rand (på neste side skal vi velge en annen flate som gir enklere beregning). Både mht til enhetsflatenormal og projisering av flate-elementet dS trenger vi nå en skalarfunksjon som har den nevnte halvkuleflaten som nivåflate. Vi lager følgende skalare funksjon: f(x,y,z) = x2 + y2 + z2. Den nevnte halvkuleflaten er en nivåflate til f siden vi kan finne en konstant c (her lik 9) slik at halvkuleflaten kan skrives som f(x,y,z = c. Vi beregner først gradienten til f: ∇f = [∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z] = [2x,2y,2z] Deretter trenger vi lengden av gradienten til f (benytter Pythagoras): ∇f = 6 Enhetsnormalvektor n kan nå skrives som: n = ∇f/|∇f| = 1/3[x,y,z] Videre trenger vi skalarproduktet av ∇f og enhetsnormalvektoren p = [0,0,1] av projeksjonen av flaten S (her ned i xy-planet), samt absoluttverdien av dette skalarproduktet. ∇f·p = [2x,2y,2z]·[0,0,1]=2z |∇f·p| = |2z| = 2z siden z >= 0 Vektorproduktet av del-operator og F beregnes vha en determinant: ∇ x F = [0,0,-2] Dette innsatt i flate-integralet gir: ʃʃ(∇ x F)·ndS = -18π Vi har dermed for denne oppgaven verifisert at begge sidene i Stokes teorem er like. |
