| Vektor kalkulus | |
|
Vi skal kontrollere Gauss teorem (divergensteoremet) for vektorfeltet F = [x,y,z] over kula x2 + y2 + z2 = a2. Vi beregner først fluksen ut av kula direkte vha dobbeltintegralet av skalarproduktet F·n hvor n er enhetsnormalvektor ut av kuleflaten S. Til bestemmelse av enhetsnormalvektor n finner vi først en skalarfunksjon f(x,y,z) slik at flaten S blir en nivåflate til f. Ved å sette f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 vil S være nivåflaten gitt ved f(x,y,z = a2. Vi bestemmer gradienten til f (∇f), lengden av denne gradienten |∇f| og enhetsnormalvektoren n som gradienten til f delt på lengden av gradientene til f: n = ∇f/|∇f|. Vi får n = 1/a·[x,y,z]. Ved innsetting i dobbeltintegralet får vi nå a multiplisert med dobbeltintegralet over flaten S. Dobbeltintegralet over flaten S er lik arealet av kuleflaten, dvs 4πa2 Dermed får vi at fluksen ut av kula er lik 4πa3. Ved bruk av divergensteoremet bestemmer vi først divergensen til F. Denne blir lik 3. Fluksen ut av kula blir derfor 3 multiplisert med trippelintegralet over den gitte kule, dvs 3 multiplisert med volumet 4/3πa3. Fluksen ut av kula blir altså 4πa3 som stemmer overrens med beregningene ovenfor. |
