| Vektorfelt | |
|
Det første vi skal ta fatt på i dette kapitlet er beregning av såkalte kurve-integraler. Dette kan vi bruke til bl.a. beregning av lengde og masse av kurver i rommet. Vi tenker oss en kurve C i rommet som går fra et startpunkt a til et sluttpunkt b. Vi lar r-vektor være en glatt parameterisering av denne kurven. Videre lar vi f være en kontinuerlig funksjon på C. Vi deler nå kurven C opp i infinitesimale (små) kurvestykker. Vi lar kurvestykkene være så små at vi på hvert kurvestykke kan betrakte funksjonen f som konstant. Så summerer vi produktene av f og lengden av kurvestykkene over hele kurven C. Deretter tar vi grensen av denne summen når partisjoneringen (oppdelingen) av kurvestykkene går mot null (kurvestykkene blir kortere og kortere). Hvis denne sistnevnte grensen eksisterer, så kaller vi denne grensen for kurveintegralet over C av funksjonen f og symboliserer dette vha et integraltegn over C av f*ds. Merk at hvis f er konstant lik 1, så summerer vi lengden av de enkelte kurvestykkene, og vi før da det vi med rimelighet vil kalle (eller det vi vil definere som) lengden av kurven C. Merk at hvis f er lik massetettheten (massen pr lengde-enhet), så summerer vi massene av de enkelte kurvestykkene, og vi får da det vi med rimelighet vil kalle (eller det vi vil definere som) massen av kurven C. Når vi skal utføre beregningen av et slikt kurveintegral, så gjør vi nytte av følgende: ds som er lengden av et infinitesimalt kurvestykke kan vi skrive som ds/dt*dt (deler og multipliserer med dt som er tillatt ved slik infinitesimalregning på samme måte som med vanlige algebraiske uttrykk). ds/dt er pr definisjon lik farten (lengden av hastigheten) på dette infinitesimale kurvestykket. Dermed kan uttykket f*ds i kurveintegralet skrived som produktet av f, lengden av hastighetsvektoren (som er lik lengden av den deriverte mht parameteren t av posisjonsvektoren r-vektor) og dt. |
