| Vektorfelt | |
|
Et eksempel på beregning av kurve-integral: Vi lar kurven C være det rette linjestykket fra origo (0,0,0) til punktet (1,1,1). En glatt parameterisering av denne kurven er gitt ved r = [t,t,t] hvor parameteren t er inneholdt i det lukkede intervallet [0,1]. Setter vi parameteren t = 0 i uttrykket for r, så får vi vektoren som går fra origo til origo (nullvektor). Setter vi parameteren t = 1 i uttrykket for r, så får vi vektoren som går fra origo til punktet (1,1,1). For alle andre verdier av parameteren t i intervallet [0,1] får vi frem en vektor som går fra origo til et hvilket som helst ønsket punkt (svarende til parameteren t) på kurven C. Det finnes uendelig mange parameteriseringer av dette linjestykket C (f.eks. r = [2t,2t,2t] hvor t er inneholdt i det lukkede intervallet [0,1/2], men det førstnevnte valget er det mest nærliggende. La den skalare funksjonen f være gitt ved: f(x,y,z) = x - 3y2 + z Vi skal beregne kurveintegralet av f over kurven C, dvs vi skal beregne kurveintegralet av f*ds over kurven C. Fra forrige side har vi at f*ds kan skrives som produktet av f, farten v (lengden av hastighetsvektoren) og dt. Hastighetsvektoren v-vektor finner vi ved å derivere posisjonsvektoren r som gir oss vektoren [1,1,1] (siden den deriverte av tmht til t er 1). Lengden av denne vektoren |[1,1,1]| er (vha Pythagoras) lik 1. Siden vi nå skal integrere mht til parameteren t, må vi uttrykke funksjonen f ved parameteren t istedet for for variablene x, y og z. Til dette sistnevnte benytter vi posisjonsvektoren r = [t,t,t] som forteller at x=t,y=t og z=t. Resten av beregningene er nå tradisjonell integralregning. Beregningene viser at resultatet av kurveintegralet blir lik null.  Vektorfelt |
