| Vektorfelt | |
|
Et eksempel på beregning av massen av en wire: Vi lar wiren (kurven) C i planet være gitt ved funksjonen y = x2 fra origo (0,0) til punktet (2,4). En glatt parameterisering av denne kurven er gitt ved r = [t,t2] hvor parameteren t er inneholdt i det lukkede intervallet [0,2]. Setter vi parameteren t = 0 i uttrykket for r, så får vi vektoren som går fra origo til origo (nullvektor). Setter vi parameteren t = 2 i uttrykket for r, så får vi vektoren som går fra origo til punktet (2,4). For alle andre verdier av parameteren t i intervallet [0,2] får vi frem en vektor som går fra origo til et hvilket som helst ønsket punkt (svarende til parameteren t) på kurven C. Det finnes uendelig mange parameteriseringer av denne kurven C (f.eks. r = [2t,4t2] hvor t er inneholdt i det lukkede intervallet [0,1], men det førstnevnte valget er det mest nærliggende. La den skalare funksjonen delta som representerer massetettheten (massen pr lengdeenhet) være gitt ved: delta(x,y) = 2x Vi skal beregne massen av denne wiren, dvs kurveintegralet av delta over kurven C, dvs vi skal beregne kurveintegralet av delta*ds over kurven C. Fra forrige side har vi at delta*ds kan skrives som produktet av delta, farten v (lengden av hastighetsvektoren) og dt. Hastighetsvektoren v-vektor finner vi ved å derivere posisjonsvektoren r som gir oss vektoren [1,2t]. Lengden av denne vektoren |[1,2t]| er (vha Pythagoras) lik kvadratroten av 1+4t2. Siden vi nå skal integrere mht til parameteren t, må vi uttrykke funksjonen delta ved parameteren t istedet for for variablene x og y. Til dette sistnevnte benytter vi posisjonsvektoren r = [t,t2] som forteller at x=t og y=t2. Resten av beregningene er nå tradisjonell integralregning. Beregningene viser resultatet av massen av denne wiren.  Vektorfelt |
