| Vektorfunksjoner og kurver | |
|
På denne siden vises at for vektorfunksjoner r(t) med konstant lengde, så vil den deriverte stå normalt på denne vektorfunksjonen. For å vise dette matematisk, skalarmultipliserer vi r(t) med seg selv og får som resultat kvadratet av lengden av r(t). Siden r(t) har konstant lengde, vil da dette skalarproduktet være lik en konstant. Vi deriverer nå denne ligningen hvor skalarproduktet er lik en konstant og får at skalarproduktet av r(t) med den deriverte r'(t) er lik null. Dermed må r(t) og r'(t) stå normalt på hverandre, dvs r(t) står normalt på sin egen derivert. En enkel 'ikke-matematisk' forklaring på dette er følgende: Eks 1: La oss tenke oss at posisjonsvektoren r(t) har konstant lengde. Da må kurven som posisjonsvektoren gjennomløper være en sirkel (kontant radius). Siden den deriverte vektoren har retning tangentielt til kurven, her sirkelen, så må den deriverte vektoren stå normalt på posisjonsvektoren. Eks 2: La oss tenke oss at en partikkel beveger seg langs en kurve i rommet og at vektorfunksjonen r(t) svarer til partikkelposisjonen på denne kurven som funksjon av tiden t. Den deriverte av r(t) vil da være hastighetsvektoren v(t). Denne hastighetsvektoren vil hele tiden være tangentiell til kurven. La oss nå tenke oss at partikkelen har konstant fart (men ikke nødvendigvis kontant hastighet siden kurven ikke nødvendigvis er rettlinjet). Da må hastighetsvektoren ha konstant lengde. Endringen (og dermed den deriverte) av hastighetsvektoren kan da ikke ha noen komponent langs hastighetsvektoren. Dermed kan endringen (og dermed den deriverte) av hastighetsvektoren kun ha retning normalt på denne hastighetsvektoren. |
