| Vektorfunksjoner og kurver | |
|
Vi skal forsøke å bestemme en matematisk definisjon av krumning κ til en kurve. På figuren vises øverst en kurve som krummer lite, nederst vises en kurve som krummer mye. Derfor bør vår definisjon av kruming være slik at κ er liten for den øverste kurven og stor for den nederste kurven. På hver av de to kurvene har vi tegnet inn to ulike posisjoner av enhetstangentvektor T. Lengden av en enhetsvektor er alltid uendret (konstant lengde lik 1). Derfor er det kun retningen som kan endre seg for enhetstangentvektoren. På den øverst figuren ser vi at det er relativt lite endring av T sammenlignet med den nederste figuren. Derfor er det rimelig å forvente at en definisjon av krumning på en eller annen måte må inneholde T. Men T alene kan ikke være tilstrekkelig for også for den øverste kurven kan vi ha stor endring av r hvis vi bare forflytter oss langt nok på kurven. Derfor bør definisjon av kruming også inneholde informasjon om hvor langt vi beveger oss på kurven når vi skal studere endringen av T. En rimelig definisjon av kruming kunne da være relatert til endring av T pr lengde-enhet. Nå vil vi at kruming skal være et tall, derfor må kruming være knyttet til lengden av endring av T og ikke kun endring av T selv. Konklusjon: Vi definerer krumning κ ved lengden av endring av T pr lengdeenhet: κ = |dT/ds| Legg merke til at definisjon av kruming er (på samme måte som enhetstangentvektor) uavhengig av en eventuell parameterisering. Ved å benytte parameterisering vises på denne siden at krumning også kan skrives som lengden av den deriverte av T mht til parameteren t delt på lengden av hastighetsvektoren. |
