Vektorfunksjoner og kurver

La oss teste rimeligheten av vår definisjon av kruming κ fra forrige side.

Øverst vises en rett linje.
Intuitivt forventer vi at en rimelig definisjon skal gi krumning lik null for en slik kurve.
På den øverste figuren er tegnet inn enhetstangentvektoren i to ulike posisjoner.
Disse to enhetstangentvektorene er like, en enhetsvektor endrer ikke lengde og heller ikke retningen endres siden kurven er rett.
Derfor vil dT(t) være lik null og krumningen κ = 0 som forventet.

Nederst vises en sirkel (med radius a).
Her er det kanskje velkjent at krumningen til en sirkel er større jo mindre radiusen er.
Dette bør da gjenspeiles i vår beregning av kruming for en sirkel.
Vi parameteriserer sirkelen ved: r(t) = [a·cost,a·sint].
Vi bestemmer hastighetsvektoren v(t) = [-a·sint,a·cost]. Videre bestemmer vi vha Pythagoras lengden av hastighetsvektoren og får resultatet a.
Enhetstangentvektoren T(t) bestemmes om hastighetsvektoren delt på lengden av hastighetsvektoren, og vi får:
T(t) = [-sint,cost].
Vi deriverer r(t) mht t og får: dT(t)/dt = [-cost,sint].
Vha Pythagoras bestemmer vi lengden av denne sistnevnte vektoren og får resultatet 1.
Til slutt bestemmer vi krumningen κ og får resultatet 1/a, dvs den inverse av radien.
Resultatet viser som forventet at krumingen til en sirkel øker med minkende radius.