Parameteriserte kurver UiA Logo
[Hovedmeny][Forrige][Neste] [Video/Sim]
Vi skal studere ligninger for tangent og normal til parameteriserte kurver.

Parameteriseringen:
x = x0 + t(x1-x0)
y = y0 + t(y1-y0)
med t innehold i det åpne intervallet fra minus uendelig til pluss uendelig
fremstiller en rett linje som går gjennom punktene P0=(x0,y0) og P1=(x1,y1).
Dette ser vi enkelt ved at t=0 gir punktet P0 mens t=1 gir punktet P1 samtidig som stigningstallet til denne kurven er konstant uavhengig av t.


La oss nå parameterisere en kurve C ved:
x = f(t)
y = g(t)

Ligningen for tangenten til denne kurven i punktet (x0,y0) = (f(t0),g(t0)) er gitt ved kurven C1:
x = f(t0)+f'(t0)(t-t0)
y = g(t0)+g'(t0)(t-t0)

Ligningen for normalen til denne kurven i punktet (x0,y0) = (f(t0),g(t0)) er gitt ved kurven C2:
x = f(t0)+g'(t0)(t-t0)
y = g(t0)-f'(t0)(t-t0)



Param 2D
Bevis for tangent:

Kurven C1 går gjennom punktet (x0,y0) = (f(t0),g(t0)) siden
x(t0) = f(t0)+f'(t0)(t0-t0)= f(t0) = x0
y(t0) = g(t0)+g'(t0)(t0-t0)= g(t0) = y0.

Videre er kurven C1 en rett linje siden
x = f(t0)+f'(t0)(t-t0) = (f(t0-f'(t0)) + tf'(t0) = a + tb
y = g(t0)+g'(t0)(t-t0) = (g(t0-g'(t0)) + tg'(t0) = c + td

Til slutt er kurven C1 en tangent til kurven C i punktet (x0,y0) = (f(t0),g(t0)) siden den har stigningstall dy/dx = (y(t)-y(t0)/(x(t)-x(t0) = g'(t0)/f'(t0)


Bevis for normal:

Kurven C2 går gjennom punktet (x0,y0) = (f(t0),g(t0)) siden
x(t0) = f(t0)+g'(t0)(t0-t0)= f(t0) = x0
y(t0) = g(t0)-f'(t0)(t0-t0)= g(t0) = y0.

Videre er kurven C2 en rett linje siden
x = f(t0)+g'(t0)(t-t0) = (f(t0-g'(t0)) + tg'(t0) = m + tn
y = g(t0)-f'(t0)(t-t0) = (g(t0+f'(t0)) - tf'(t0) = p + tq

Til slutt står kurven C2 normalt på tangenten C1 i punktet (x0,y0) = (f(t0),g(t0)) siden [g'(t0/f'(t0]/[-f'(t0/g'(t0] = -1, dvs produktet av stigningstallet til C1 og stigningstallet til C2 er lik -1.