Parameteriserte kurver

Vi skal bestemme arealet av en flate som fremkommer ved rotasjon av en parameterisert kurve.
La den parameteriserte kurven være gitt ved:
x = f(t)
y = g(t)

Rotasjon om x-aksen:
Vi tenker oss at den parameteriserte kurven er som vist med rød farge i figuren øverst til høyre.
Vi roterer denne kurven om x-aksen.
Etter en halv omdreining vil kurven være som vist med blå farge (i samme figur). Den roterte kurven vil frembringe en rotasjonsflate.
Vi tenker oss et punkt på kurven og en smal stripe fra dette punktet ned til x-aksen.
Lengden av denne stipen vil være lik |y| (absoluttverdien av y).
Når denne stipen roterer med kurven fremkommer en tynn sirkelskive med radius y og sidekant ds.
Arealet at ytterstripen av denne skiven vil derfor være 2π|y|ds.
Arealet av hele rotasjonsflaten vil nå være lik summen (dvs integralet) av alle slik småstriper fra et startpunkt a til et sluttpunkt b.
Med bruk av ds fra beregning av kurvelengde, får vi nå formelen for arealet av denne rotasjonsflaten.

Rotasjon om y-aksen:
Samme som for rotasjon om x-aksen, bortsett fra at rotasjonsradien nå blir |x| i stedet for |y|.