| Parameteriserte kurver | |
|
Vi skal bestemme arealet begrenset av parametriske kurver. La oss anta at en parameterisert kurve er gitt ved: x = f(t) y = g(t) La oss videre anta at både f'(t) og g(t) er større enn eller lik null på et intervall [a,b]. Arealet mellom kurven og førsteaksen fra a til b er da gitt ved: A = ʃdA = ʃydx hvor integralet går mellom grensene a og b. Med y = g(t) og dx = f'(t)dt får vi videre: A = ʃdA = ʃydx = ʃg(t)f'(t)dt Dette arealet stemmer så lengde både f'(t) og g(t) er større enn eller lik null (se fig). Arealet stemmer også så lenge f'(t) og g(t) begge er mindre enn eller lik null. Derimot må vi sette et minustegn for integralet for å få arealet hvis f'(t) og g'(t) har motsatt fortegn. Vi kan oppsummere og generalisere dette i en enkel regel: ʃg(t)f'(t)dt = A1 - A2 hvor A1 er lik arealet liggende vertikalt mellom kurven C og den delen av x-aksen hvor g(t)f'(t) >= 0 og hvor A2 er lik arealet liggende vertikalt mellom kurven C og den delen av x-aksen hvor g(t)f'(t) <= 0 |
