| Parameteriserte kurver | |
|
Fra forrige side hadde vi følgende oppsummering og generalisering av sammenheng mellom areal og integral av en parameterisert kurve: ʃg(t)f'(t)dt = A1 - A2 hvor A1 er lik arealet liggende vertikalt mellom kurven C og den delen av x-aksen hvor g(t)f'(t) >= 0 og hvor A2 er lik arealet liggende vertikalt mellom kurven C og den delen av x-aksen hvor g(t)f'(t) <= 0 La oss se på den grå figuren hvor traverserer en kurve med klokka fra a til b. I starten vil vi gå i negativ x-retning, dvs f'(t) vil være negativ mens g(t) er positiv. Vi får derfor her et negativt bidrag i integralet (dvs vi får minus arealet under kurven) inntil vi har kommet til ytterste venstre del av kurven og skal til å bevege oss i positiv x-retning. Når vi nå beveger oss i positiv x-retning (dvs f'(t) er positiv) mens g(t) fortsatt er positiv, vil integralet gi oss arealet under kurven og ned til x-aksen. Den delen av arealet som vi nå får og som samtidig ligger under startkurven vår, vil oppheves av tilsvarende negative del i starten av integralet. Samme prinsipp vil gjenta seg på høyre del av kurven. Integralet fra a til b vil derfor gi oss det arealet under kurven som er skravert med grå farge (vi ser at en del av denne går helt ned til x-aksen). I den grå figuren til høyre hvor vi igjen traverserer fra a til b, men denne gang mot klokka, ser vi at vi i starten går i negativ x-retning (dvs f'(t) er negativ) mens g(t) er positiv. Derfor får vi nå i starten minus arealet mellom kurven og x-aksen. Merk at på slutten av denne kurven vil g(t) være negativ mens f'(t) er positiv. Arealet skravert med grå farge vil nå være minus integralet av g(t)f'(t)dt fra a til b. På neste side skal vi generalisere dette til å gjelde lukkede kurver i planet. |
