| Polare kurver | |
|
Mht tegning av grafer til polare ligninger, kan det være hensiktsmessig å studere eventuelle symmetrier. På denne siden tar vi for oss tre ulike symmetrier: 1. Symmetri om x-aksen Siden vinkelen θ måles med utgangspunkt i x-aksen, har vi har symmetri om x-aksen hvis punktene P(r,θ) og P(r,-θ) begge ligger på grafen. Matematisk kan vi skrive dette som r(-θ) = r(θ). Merk at vi også har symmetri om x-aksen hvis punktene P(r,θ) og P(-r,π-θ) begge ligger på grafen. Med vinkelen π-θ går vi nemlig i en retning speilet om y-aksen i forhold til retningen gitt ved vinkelen θ. Når vi så setter minustegn foran r går vi i motsatt retning av π-θ og havner derfor i en posisjon speilet om x-aksen i forhold til punktet P(r,θ). Matematisk kan vi skrive dette som -r(π-θ) = r(θ) eller r(π-θ) = -r(θ). Som et eksempel på symmetri om x-aksen kan vi nevne den polare ligningen r(θ) = 1 + cosθ. Her er den første symmetribetingelsen r(-θ) = r(θ) oppfylt siden r(-θ) = 1 + cos(-θ) = 1 + cosθ = r(θ). 2. Symmetri om y-aksen Vi har symmetri om y-aksen hvis punktene P(r,θ) og P(-r,-θ) begge ligger på grafen. Matematisk kan vi skrive dette som -r(-θ) = r(θ) eller r(-θ) = -r(θ). Merk at vi også har symmetri om y-aksen hvis punktene P(r,θ) og P(r,π-θ) begge ligger på grafen. Med vinkelen π-θ går vi nemlig i en retning speilet om y-aksen i forhold til retningen gitt ved vinkelen θ. Matematisk kan vi skrive dette som r(π-θ) = r(θ). Som et eksempel på symmetri om y-aksen kan vi nevne den polare ligningen r(θ) = 1 - sinθ. Her er den andre symmetribetingelsen r(π-θ) = r(θ) oppfylt siden r(π-θ) = 1 - sin(π-θ) = 1 - sinθ = r(θ). 3. Symmetri om origo Vi har symmetri om origo hvis punktene P(r,θ) og P(-r,θ) begge ligger på grafen. Matematisk kan vi skrive dette som r(θ) = -r(θ). Merk at vi også har symmetri om origo hvis punktene P(r,θ) og P(r,π+θ) begge ligger på grafen. Med vinkelen π+θ går vi nemlig i en retning speilet om origo i forhold til retningen gitt ved vinkelen θ. Matematisk kan vi skrive dette som r(π+θ) = r(θ). Som et eksempel på symmetri om origo kan vi nevne den polare ligningen r2(θ) = sin2θ. Her er begge symmetribetingelsene r(θ) = - r(θ) og r(π+θ) = r(θ) oppfylt siden: r(θ) = ±sin(2θ) = -(±sin(2θ)) = -r(θ) r(π+θ) = ±sin(2(π+θ)) = ±sin(2π+2θ) = ±sin(2θ) = r(θ) |
