| Polare kurver | |
|
På figuren vises en polar graf r = r(θ) (rød farge) hvor vinkelen θ ligger i følgende intervall θ ϵ [α,β]. Vi skal bestemme et uttrykk for arealet knyttet til området begrenset av denne kurven og de rette linjene: r = α r = β Vi tenker oss at vi deler inn området i små-områder som sektorer utløpt fra origo. På figuren er tegnet inn ett slikt lite område (grå farge). Når vinkelen Δθk (innenfor dette lille området) er tilstrekkelig liten, kan området betraktes som en likebent trekant med høyde rk og toppvinkel Δθk. Grunnlinjen i denne trekanten er lik buen rk·Δθk. Arealet Ak av denne lille trekanten vil derfor være lik: Ak = 1/2·rk·rk·Δθk = 1/2·rk2·Δθk = 1/2|r(θk)|2·Δθk Arealet av hele området vil nå tilnærmet være lik summen av alle slike små-områder. Ved å la små-områdene bli mindre og mindre, dvs vi kan betrakte områdene som infinitesimale, vil summeringen erstattes av integrasjon og vi får følgende uttrykk for arealet A av området: A = ʃ 1/2r2dθ Merk at siden vi beregner grensen av summen av slike små-områder når disse små-områdene går mot null (dvs områdene kan betrakes som infinitesimale), så er vårt areal-uttrykk et eksakt uttrykk og ikke kun et tilnærmet uttrykk. Vi skal senere (ved bruk av multiple integraler (dobbelt-integral)) benytte en mer elegant metode til bestemmelse av alealet begrenset av en polar kurve. |
