| Polare kurver | |
|
Vi skal beregne arealet begrenset av den innerste sløyfen i den polare kurven: r(θ) = 2cosθ + 1 Fra forrige side har vi følgende uttrykk for arealet knyttet til en polar kurve: A = ʃ 1/2r2dθ Her må vi først bestemme mellom hvilke grensevinkler vi skal integrere for å få arealet av den innerste sløyfen. Disse grensene finner vi ved å bestemme for hvilke vinkler θ grafen krysser gjennom origo, dvs for hvilke vinkler vi har: r(θ) = 0. Løsning av ligningen 2cosθ + 1 = 0 gir θ = 2π/3 eller θ = 4π/3. Grafen er symmetrisk om x-aksen (r(-θ) = r(θ)). Derfor kan vi istedet integrere mellom grensene θ = 2π/3 og θ = π og til slutt multiplisere med faktoren 2. Vi multipliserer med faktoren 2 (se ovenfor) i vårt arealuttrykk, setter inn uttrykket for r(θ), benytter at cos2θ = (1+cos2θ)/2, integrerer og får beregnet areal. 
|
