| Polare kurver | |
|
Vi skal beregne arealet (skravert) utenfor den polare kurven:
r1(θ) = 1 - cosθ (kardeoide, rød farge)
og innenfor den polare kurven r2 = 1 (sirkel, blå farge): Fra forrige side har vi følgende uttrykk for arealet knyttet til en polar kurve: A = ʃ 1/2r2dθ Her må vi først bestemme mellom hvilke grensevinkler vi skal integrere for å beregne det etterspurte arealet. Disse grensene finner vi ved å bestemme for hvilke vinkler θ r1(θ) = r2(θ), dvs for hvilke vinkler vi har: 1 - cosθ = 1. Dette gir integrasjonsgrensene θ = -π/2 og θ = π/2. Begge grafene er symmetriske om x-aksen (r(-θ) = r(θ)). Derfor kan vi integrere mellom grensene θ = 0 og θ = π/2 og kompensere ved multiplikasjonsfaktor 2. Etterspurt areal finner vi nå ved å bestemme differensen mellom arealet innenfor kurven beskrevet ved r2 og arealet innenfor kurven beskrevet ved r1, begge integralene integrert mellom de to beregnede grensene. Vi setter inn uttrykkene for r1 og r2, benytter at cos2θ = (1+cos2θ)/2, integrerer og får beregnet areal. 
|
