Vektorer og geometri i rommet

Vi har to vektorer:

u = [u₁,u₂,u₃]
v = [v₁,v₂,v₃]

Med skalarproduktet u·v mellom disse to vektorene mener vi lengden av vektoren u multiplisert med lengden av vektoren v multiplisert med cosinus til vinkelen mellom de to vektorene:

u·v = |u||v|cosθ

Det kan vises at vi får samme resultat (dvs skalarproduktet) ved å beregne summen av de parvise komponentproduktene:

u·v = |u||v|cosθ = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

Vi kan også si at skalarproduktet av to vektorer er produktet av lengden av den ene vektoren og lengden av projeksjonen av den andre vektoren ned på den første vektoren.

Vinkelen mellom to vektorer som står normalt på hverandre vil være lik π/2 (eller 90 grader). Siden cosinus til π/2 (eller 90 grader) er lik null, vil skalarproduktet av to vektorer som står normalt på hverandre være lik null.
To vektorer sies å være ortogonale (stå normalt på hverandre) hvis skalarproduktet av dem er lik null.

Merk at siden nullvektor har lengde lik null, så vil (pr def) nullvektor stå normalt på alle vektorer.

Skalarprodukt mellom vektorer benyttes i mange ulike situasjoner:
Beregning av kurveintegral, arbeid, strømning, kurvelengde, masse, massesenter, kraftmoment, fluks, ... .
Ved ulike matematiske transformasjoner av bilder/signaler er det ofte hensiktsmessig å erstatte bildepixelverdier med ortogonale vektorfunksjoner hvor skalarprodukt er til hjelp ved bestemmelse av bilde-detaljer.
I mikrokosmos (kvantefysikk) beskrives ofte en tilstand vha ortogonale tilstandsfunksjoner med påfølgende projeksjon (skalarprodukt) svarende til en måleprosess.